Vous avez 20 secondes pour résoudre ce calcul : la plupart des gens se trompent

Voici l'énoncé. Vingt secondes, de tête, sans calculatrice et sans papier : 12 + 8 ÷ 4 × 2 − 5 = ? Notez votre résultat quelque part avant de continuer, c'est tout l'intérêt de l'exercice. Une réponse lue est une réponse qu'on aurait évidemment trouvée.

Si vous avez répondu 11, vous pouvez sauter le chapitre suivant. Si vous avez répondu 8 ou 5, vous êtes en très nombreuse compagnie, et l'erreur que vous avez commise porte un nom. Dans les deux cas, ce petit calcul est un révélateur intéressant, non pas de vos capacités en mathématiques, mais de votre rapport à la première réponse qui vient.

La bonne réponse, étape par étape

Les règles de priorité opératoire, telles qu'elles sont enseignées au collège, tiennent en trois lignes. On traite d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions. Point capital et systématiquement oublié : à l'intérieur d'un même niveau, on avance de gauche à droite.

Appliqué à notre calcul, cela donne :

• Pas de parenthèses ni de puissance, on passe au niveau suivant.
• Premier signe rencontré de ce niveau, en partant de la gauche : la division. 8 ÷ 4 = 2. L'expression devient 12 + 2 × 2 − 5.
• Signe suivant du même niveau : la multiplication. 2 × 2 = 4. L'expression devient 12 + 4 − 5.
• Restent l'addition et la soustraction, de gauche à droite : 12 + 4 = 16, puis 16 − 5 = 11.

Cette règle n'a rien d'une convention exotique : elle est la même en France, où l'on parle de priorités opératoires, et dans les pays anglo-saxons, où le moyen mnémotechnique PEMDAS place explicitement multiplication et division au même étage, tout comme addition et soustraction. Le détail des règles d'ordre des opérations confirme cette lecture de gauche à droite à priorité égale.

Les deux erreurs qui produisent 8 et 5

Chacune correspond à un raisonnement cohérent, mais fondé sur une règle inexacte. C'est ce qui les rend si difficiles à débusquer soi-même.

La réponse 8 est de loin la plus fréquente chez les adultes, et elle s'explique très bien. Le moyen mnémotechnique appris à l'école range souvent la multiplication avant la division dans l'énumération, simplement parce qu'il faut bien les citer dans un ordre. Beaucoup de gens ont mémorisé la liste comme une hiérarchie, alors qu'il s'agit d'un regroupement. La réponse 5, elle, correspond au réflexe le plus primitif : lire un calcul comme on lit une phrase.

Une erreur de calcul se corrige en trente secondes. Une règle fausse apprise à onze ans traverse une vie entière sans jamais être vérifiée.

Pourquoi le cerveau se précipite

Le phénomène dépasse largement les mathématiques, et il a été mesuré avec une précision remarquable. En 2005, l'économiste comportemental Shane Frederick a publié le test de réflexion cognitive, trois questions calibrées pour qu'une réponse intuitive fausse arrive avant la bonne. Les moyennes obtenues dans plusieurs universités américaines très sélectives sont restées célèbres : 2,18 bonnes réponses sur 3 au Massachusetts Institute of Technology, 1,63 à Princeton, 1,43 à Harvard.

Autrement dit, dans des établissements qui recrutent parmi les meilleurs dossiers du monde, une part importante des étudiants échouait à des questions ne demandant aucune connaissance particulière. Ce que ce test isole n'est pas la capacité de calcul, mais la disposition à suspendre une réponse qui paraît évidente. Et cette disposition ne suit pas le niveau scolaire.

Les trois questions qui piègent tout le monde

Puisque nous y sommes, voici les trois items originaux, adaptés en euros. Prenez le temps, cette fois.

• La raquette et la balle. Elles coûtent 1,10 euro ensemble, et la raquette coûte 1 euro de plus que la balle. Combien coûte la balle ? La réponse qui vient est 10 centimes ; elle est fausse, car la raquette coûterait alors 1,10 euro et le total 1,20 euro. La bonne réponse est 5 centimes.
• Les machines. Si 5 machines mettent 5 minutes à fabriquer 5 objets, combien de temps mettent 100 machines pour fabriquer 100 objets ? L'intuition souffle 100 minutes. Chaque machine produisant un objet en 5 minutes, la réponse est 5 minutes.
• Les nénuphars. Une nappe de nénuphars double de surface chaque jour et couvre entièrement le lac en 48 jours. En combien de jours en couvre-t-elle la moitié ? L'intuition dit 24. Comme la surface double chaque jour, la veille du recouvrement total elle en couvrait la moitié : 47 jours.

Méfiez-vous des calculs volontairement mal posés

Une précision s'impose, parce qu'elle distingue un vrai défi d'un piège malhonnête. Les expressions qui inondent périodiquement les réseaux sociaux, du type 6 ÷ 2(1+2), ne relèvent pas du même problème. Elles reposent sur une multiplication dite implicite, celle qui s'écrit sans signe, juste après une parenthèse. Or les conventions divergent sur son statut : une partie des usages, notamment en physique et dans certaines notations scientifiques, lui accorde une priorité supérieure à la division, une autre non.

Résultat : ces expressions n'ont pas de réponse unique, et les débats interminables qu'elles suscitent n'opposent pas des gens qui savent compter à des gens qui ne savent pas, mais deux conventions d'écriture. Un énoncé mathématique correct ne laisse aucune place à ce genre d'ambiguïté, ce qui explique qu'on ne rencontre jamais ce type d'écriture dans un manuel sérieux. Notre calcul du jour, lui, n'utilise que des signes explicites : il a une réponse et une seule.

Comment ne plus tomber dedans

Quelques habitudes suffisent, et elles servent bien au-delà du calcul mental.

• Réécrire avec des parenthèses. Reconstituer mentalement 12 + ((8 ÷ 4) × 2) − 5 rend la structure visible et supprime l'ambiguïté perçue.
• Traiter le niveau, pas le symbole. Se répéter que multiplication et division forment un seul étage, addition et soustraction un autre, corrige à elle seule l'erreur la plus répandue.
• S'accorder dix secondes de vérification quand une réponse arrive trop vite. C'est exactement ce que mesure le test de réflexion cognitive, et c'est la seule variable sur laquelle on peut agir immédiatement.
• Se demander pourquoi on est si sûr. Dans la plupart des cas, la certitude vient de la fluidité du raisonnement, pas de sa solidité.

Un dernier mot pour ceux qui ont répondu 8 ou 5 : cette erreur ne dit strictement rien de votre intelligence. Elle indique qu'une règle apprise il y a longtemps a été mémorisée de travers, et que personne n'a eu l'occasion de la corriger depuis. C'est réparé en une lecture. La disposition à vérifier avant de répondre, elle, demande un peu plus de temps, mais elle rapporte bien davantage.

Santé, argent, psychologie du quotidien : ce journal explore les questions que tout le monde se pose. Pour savoir qui l'écrit, direction ma page auteur.